§8: Twee-dimensionale beweging: worp van toren

§2 Troubleshooting

De modellen die je tot nu toe hebt bekeken, betroffen alle bewegingen in één dimensie ofwel rechtlijnige bewegingen. Er is nauwelijks nieuwe theorie nodig om modellen voor tweedimensionale bewegingen te schrijven. De basisregels van de mechanica en de vertaling ervan in modelregels blijft gewoon hetzelfde, alleen staan ze er nu zowel voor x als voor y:

Fresx = 
Fresy = 
ax = 
ay = 
vx = 
vy = 
x = x + dx
y = y + dy
   (etc.)

De Fresx is nu de x-component van $$F_{res}$$ en de Fresy is nu de y-component van $$F_{res}$$. De vx is de x-component van $$v$$ en de vy de y-component van $$v$$, etc..

Soms is in het model de totale verplaatsing of de totale snelheid nodig. Deze volgen uit de stelling van Pythagoras:

$$\quad s_{tot} = \sqrt{x^2 + y^2}$$
In modeltaal is dit: stot = sqrt(x^2+y^2)

$$\quad v_{tot} = \sqrt{vx^2 + v_y^2}$$
In modeltaal is dit: vtot = sqrt(vx^2+vy^2)

Verder is soms de hoek $$\alpha$$ nodig tussen de baan en de x-as. Hiervoor geldt:

$$\quad \alpha = \tan^{-1}{\left(\frac{v_y}{v_x} \right)}$$
In modeltaal is dit: alpha = arctan(vy/vx)

Situatiebeschrijving

Vanaf een toren wordt een bal ($$50$$ g) weggeworpen vanaf een hoogte van 80 meter met een horizontale beginsnelheid van $$20$$ m/s. Zijn verticale beginsnelheid is $$0$$ m/s. Er is géén wrijving.

Model in graden

Fresx = 
Fresy = 
ax = 
ay = 
dvx = 
dvy = 
vx = 
vy = 
vtot = 
dx = 
dy = 
x = 
y = 
t = 
Als ... dan ... EindAls

Het model wordt uitgebreid tot een schuine worp omhoog. De beginsnelheid blijft $$20$$ m/s. De hoek waaronder de bal wordt weggegooid met de horizontaal noemen we alpha. De vx en vy (componenten van de snelheid) kunnen we dan bepalen uit vtot en alpha.

	alpha = 40
	vtot = 20
	vx = ...
	vy = ...

We breiden het model uit met een snelheidsafhankelijke wrijving: $$F_{w,tot} = k·v_{tot}^2$$

Je kunt deze kracht weer ontbinden in een kracht in de x-richting en een in de y-richting door gebruik te maken van de hoek, alfa, die de kracht met de x-as maakt (alpha moet dus nu in elke iteratie uitgerekend worden, want die verandert steeds).

	Fresx = 
	Fresy = 
	alpha = 

Antwoorden op alle opdrachten

42) Zie de tabel hieronder:

MODEL	STARTWAARDEN
Fresx = 0 Fresy = Fz ax = Fresx / m ay = Fresy / m dvx = ax * dt dvy = ay * dt vx = vx + dvx vy = vy + dvy vtot = sqrt(vx^2 + vy^2) dx = vx * dt dy = vy * dt x = x + dx y = y + dy t = t + dt Als y < 0 dan stop EindAls	m = 0,050 'kg g = -9,81 'm/s^2 Fz = m * g vx = 20 'm/s vy = 0 'm/s x = 0 'm y = 80 'm t = 0 's dt = 0,005 's

43) Zie grafieken hieronder:

44) $$x = 80,7$$ m

45)

alpha = 40 'graden
vtot = 20 'm/s
vx = vtot*cos(alpha) 		(vervangt eerdere startwaarde van vx)
vy = vtot*sin(alpha)		(vervangt eerdere startwaarde van vy)

46) $$\alpha = 24$$ graden

47)

Fwtot = k*vtot^2 		(bovenaan modelregels)

48)

Fresx = - Fwtot * cos(alpha) 		(vervangt eerdere modelregel van Fresx)
Fresy = Fz - Fwtot * sin(alpha)		(vervangt eerdere modelregel van Fresy)
alpha = arctan(vy/vx)			(na de regels voor vx en vy)

49) Zie de tabel en grafieken hieronder:

MODEL	STARTWAARDEN
Fwtot = k * vtot^2 Fresx = - Fwtot * cos(alpha) Fresy = Fz - Fwtot * sin(alpha) ax = Fresx / m ay = Fresy / m dvx = ax * dt dvy = ay * dt vx = vx + dvx vy = vy + dvy alpha = arctan(vy/vx) vtot = sqrt(vx^2 + vy^2) dx = vx * dt dy = vy * dt x = x + dx y = y + dy t = t + dt Als y < 0 dan stop EindAls	m = 0,050 'kg g = -9,81 'm/s^2 Fz = m * g k = 0,00047 'kg/m vtot = 20 'm/s alpha = 20 'graden vx = vtot * cos(alpha) vy = vtot * sin(alpha) x = 0 'm y = 80 'm t = 0 's dt = 0,005 's

50) Afstand = 65,3 m

Alles nagekeken en gesnapt? Ga dan verder met §9 Examenopgaven