§7: Een trillend voorwerp met wrijving

§2 Troubleshooting

Situatiebeschrijving

Een auto met een massa van $$1150$$ kg begint te trillen nadat hij over een hobbel is gereden. De hobbel is $$20$$ cm hoog en de verticale beweging van de auto is te modelleren als een harmonische trilling. De auto heeft een veerconstante van $$5,0·10^5$$ N/m. Het moment waarop de auto over de hobbel rijdt, en de veer dus $$20$$ cm ingedrukt is, noemen we $$t = 0$$ s. De verticale snelheid is hier $$0$$ m/s.

De trillingstijd van een massa-veersysteem is theoretisch te berekenen met de formule: $$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{C}}$$

Voer je model uit en maak een (u,t)-grafiek, een (v,t)-grafiek en een (a,t)-grafiek. Zorg dat in de grafiek circa 10 periodes te zien zijn. Het kan zijn dat je model te vroeg stopt met rekenen. Standaard wordt het model namelijk 2000 keer doorgerekend. Om dat te vergroten klik je op het stopwatch icoontje en pas je daar het aantal modelstappen (iteraties) aan naar een groter getal.

In het model van een ongedempte harmonische trilling blijft de auto altijd in beweging als de massa eenmaal uit evenwicht is gebracht. Dit is niet erg realistisch, omdat in de meeste gevallen energie door wrijving verloren gaat. Een meer realistisch model is de gedempte harmonische trilling. Hierbij ondervindt de trillende massa een wrijvingskracht, die uiteindelijk de massa tot stilstand brengt.

Een eenvoudige benadering voor wrijving is: $$F_w = -\lambda·v$$. Dat wil zeggen dat de wrijvingskracht ($$F_w$$) recht evenredig is met de snelheid, maar in tegengestelde richting. De factor $$\lambda$$ (lambda) staat bekend als de wrijvingsconstante.

Voor de passagiers in de auto is het prettig als de auto niet lang blijft trillen. Bij voorkeur is de trilling “kritisch gedempt”. Bij een kritisch gedempte trilling gaat de verplaatsing van de massa snel naar nul, zonder door de nul heen te schieten. Is de dempingswaarde nog groter, dan is de trilling overgedempt. Hij doet er dan weer langer over om naar nul te gaan.

Met het model kan ook de wet van behoud van energie voor een harmonische trilling worden gecontroleerd.

Voor de kinetische energie geldt: $$E_k = ½·m·v^2$$

Voor de veerenergie geldt: $$E_v = ½·C·u^2$$

Voor de totale energie geldt: $$E_{tot} = E_k + E_v$$

Antwoorden op alle opdrachten

33) $$T=2π\sqrt{\frac{m}{C}}=0,30$$ s. Kies dt veel kleiner dan dit, bijvoorbeeld dt = 0,001 ‘s

35) Zie grafieken hieronder:

37) Zie de tabel (en grafieken) hieronder:

MODEL	STARTWAARDEN
Fv = -C * u Fw = -lambda * v Fres = Fv + Fw a = Fres / m dv = a * dt v = v + dv du = v * dt u = u + du t = t + dt	m = 1150 'kg C = 5,0*10^5 'N/m lambda = 1,5*10^3 'kg/s v = 0 'm/s u = -0,20 'm t = 0 's dt = 0,001 's

38) $$\lambda = 4,4·10^4$$ kg/s (marge van $$0,2·10^4$$)

39)

Ek = 1/2*m*v^2
Ev = 1/2*C*u^2
Etot = Ek+Ev

40) Je krijgt de volgende grafiek:


40) Voor $$\lambda = 0$$ (geen wrijving) zou $$E_{tot}$$ gelijk moeten blijven. Als hij nog een beetje varieert ligt dat aan de grootte van de stapjes die onnauwkeurigheden geven. Hoe kleiner dt, hoe rechter $$E_{tot}$$. Bij dt = 0,001 ’s en 3000 iteraties krijg je de linker grafiek en bij dt = 0,0001 ’s en 30000 iteraties krijg je de rechter grafiek:

Alles nagekeken en gesnapt? Ga dan verder met §8 Twee-dimensionale beweging: worp van een toren