MeneerPoulus.nl :: Voorbereiding op modelleren

Situatiebeschrijving

Een kogel wordt vanaf een hoogte van $$2,0$$ meter met een snelheid van $$40$$ m/s omhooggeschoten. De beginpositie ($$x_0 = 2,0$$ m) is bekend, de beginsnelheid ook ($$v_0 = 40$$ m/s). Na het omhoog schieten werkt op de kogel alleen nog als resulterende kracht de zwaartekracht ($$F_{res} = F_z$$).

Kies steeds het juiste antwoord:

Direct na het afschieten neemt de snelheid / .
Direct na het afschieten neemt de plaats / .
Na het bereiken van het hoogste punt neemt de snelheid / .
Na het bereiken van het hoogste punt neemt de plaats / .

Basis van een model

Een model bestaat altijd uit een aantal modelregels en startwaarden. De startwaarden zijn de waarden die ingevuld worden de eerste keer dat de modelregels gelezen worden. De basis-regels en startwaarden zijn:

MODEL	STARTWAARDEN
Fres = ... a = Fres / m dv = a * dt v = v + dv dx = v * dt x = x + dx t = t + dt	m = 'kg v = 'm/s x = 'm t = 's dt = 's (etc.)

Figuur 1: De basis-modelregels en startwaarden. De accentjes voor de eenheden betekenen dat het computerprogramma hier niets mee doet.

Dit model is gebaseerd op het volgende principe:

Een resulterende kracht geeft een versnelling (a)
De versnelling geeft na een kleine tijd (dt) een kleine verandering in de snelheid (dv)
De verandering in de snelheid geeft een nieuwe snelheid (v)
De snelheid geeft na een kleine tijd (dt) een kleine verandering in de plaats (dx)
De verandering in de plaats geeft een nieuwe plaats (x).
De tijd is vervolgens een kleine beetje verder gelopen (t)

Let op hoe het model in een oorzaak-gevolg volgorde is geschreven! Houd dit ook altijd zo!

Zelf eens doorrekenen

De beschreven situatie van de kogel wordt als volgt gemodelleerd:

MODEL	STARTWAARDEN
Fres = m * g a = Fres / m dv = a * dt v = v + dv dx = v * dt x = x + dx t = t + dt	m = 0,035 'kg g = -9,81 'm/s2 v = 40 'm/s x = 2 'm t = 0 's dt = 0,1 's

Om enig idee te krijgen hoe een modelberekening in de computer verloopt, kun je dat uit het hoofd of met je gewone rekenmachine nabootsen.

Noteer de startwaarden in onderstaande tabel. Bereken vervolgens zelf de waarden die het model berekent van $$t = 0,0$$ s tot en met $$t = 0,4$$ s en vul deze in.

	`Fres`	`a`	`dv`	`v`	`dx`	`x`	`t`
STARTWAARDEN
1e keer doorrekenen
2e keer doorrekenen
3e keer doorrekenen
4e keer doorrekenen

Tabel 1

Beschrijf nu wat met de doorgerekende grootheden gebeurt en leg uit of je dit gedrag van deze grootheden had verwacht. Noteer de antwoorden in je werkboek.

De Fres blijft gelijk / neemt af / neemt toe, omdat ...
De a blijft gelijk / neemt af / neemt toe, omdat ...
De dv blijft gelijk / neemt af / neemt toe, omdat ...
De v blijft gelijk / neemt af / neemt toe, omdat ...
De dx blijft gelijk / neemt af / neemt toe, omdat ...
De x blijft gelijk / neemt af / neemt toe, omdat ...
De t blijft gelijk / neemt af / neemt toe, omdat ...

Antwoorden op alle opdrachten

1) Direct na het afschieten neemt de snelheid AF.
Direct na het afschieten neemt de plaats TOE.
Na het bereiken van het hoogste punt neemt de snelheid TOE. Eigenlijk is AF ook juist: nadat v 0 wordt, wordt hij toenemend negatief.
Na het bereiken van het hoogste punt neemt de plaats AF.

2) Zie tabel hieronder:

	`Fres`	`a`	`dv`	`v`	`dx`	`x`	`t`
STARTWAARDEN	-	-	-	40	-	2,0	0,0
1e keer doorrekenen	-0,34335	-9,81	-0,981	39,019	3,9019	5,9019	0,1
2e keer doorrekenen	-0,34335	-9,81	-0,981	38,038	3,8038	9,7057	0,2
3e keer doorrekenen	-0,34335	-9,81	-0,981	37,057	3,7057	13,4114	0,3
4e keer doorrekenen	-0,34335	-9,81	-0,981	36,076	3,6076	17,0190	0,4

Tabel 1

3) De Fres blijft gelijk, omdat de enige kracht die op de kogel werkt de zwaartekracht is en die is constant, dus Fres blijft gelijk.
De a blijft gelijk, omdat volgens de tweede wet van Newton de versnelling evenredig is met de resulterende kracht. Het gaat hier om een vrije val en dan is a steeds gelijk aan g.
De dv blijft gelijk, omdat a constant is en dt gelijk blijft (0,1 s), dus blijft dv ook gelijk.
De v neemt af, omdat elk stapje in de tijd (dt) zorgt voor een steeds even grote verandering in v.
De dx neemt af, omdat de kogel afgeremd wordt, dus zal die elk tijdsstapje een kleinere afstand afleggen.
De x neemt toe, omdat de kogel omhoog gaat. De toename wordt wel steeds minder, want de kogel gaat steeds langzamer, dus zal hij nog wel omhoog gaan maar met steeds kleiner stapjes.
De t neemt toe, omdat je steeds dezelfde even grote tijdstapjes neemt (stel je zelf in).

Alles nagekeken en gesnapt? Ga dan verder met §2 Troubleshooting

Modelleren

§1: Voorbereiding op modelleren

Situatiebeschrijving

Basis van een model

Zelf eens doorrekenen

Antwoorden op alle opdrachten